信号处理中的一些概念

1. 能量与功率的区别

1.1 定义

能量(Energy)：信号在一段时间内包含的总“力度”，数学上是平方后积分。信号的能量为

功率(Power)：能量随时间的“速率”，即每单位时间平均能量。信号的平均功率（时域）为

根据Parseval 定理，可以得出频域功率为：

，其中是信号的傅里叶变换。

换句话说，信号的能量（或功率）可以在时域和频域两种方式计算，结果相等。这就是“频谱中的功率”的核心。

能量信号（比如脉冲）：能量有限，但功率为0（因为时间趋近无穷，平均下来越来越小）。
功率信号（比如正弦波、噪声）：能量无限，但功率有限（因为每一秒里，能量是稳定的）。

1.2 物理类比

你可以类比电功率：

电压，电流。

瞬时功率：

平均功率：。

同样地，信号的幅值平方相当于“瞬时能量”，它的平均值就是“功率”。

1.3 例子

• 有限脉冲信号（比如1 秒钟的矩形波）：

总能量有限。

拉长时间去平均→ 功率为0。

• 无限正弦波
  ：

总能量无穷（因为它一直在震荡）。

平均功率有限：

• 白噪声

  理论上能量无穷（因为它是无限长信号）。

但功率可以用功率谱密度描述（比如）。

1.4 总结

能量信号：能量有限，功率趋零。

功率信号：能量无限，但功率有限。

功率就是“信号平均每秒钟包含多少能量”，就像电学里的“瓦数”。

2.能量谱密度与功率谱密度的区别

2.1 基本概念

频谱：信号在频域中的分布，一般通过傅里叶变换得到。

频谱密度：在单位频率范围内的功率或能量分布情况。

时间序列 的功率谱 描述了信号功率在频域的分布状况。根据傅立叶分析，任何物理信号都可以分解成一些离散频率或连续范围的频谱。对特定信号或特定种类信号（包括噪声）频率内容的分析的统计平均，称作其频谱。

当信号的能量集中在一个有限时间区间的时候，尤其是总能量是有限的，就可以计算能量谱密度。更常用的是应用于在所有时间或很长一段时间都存在的信号的功率谱密度。由于此种持续存在的信号的总能量是无穷大，功率谱密度（英语：Power Spectral Density，缩写PSD）则是指单位时间的频谱能量分布。

2.2 物理定义

2.2.1 能量谱密度（Energy Spectral Density，ESD）

信号的能量谱密度定义为

被积函数可以理解为信号在频率处的“能量贡献”。

是信号的傅里叶变换，表示信号能量的形式。

能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量如何随频率分布。

2.2.2 功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）

功率谱密度可以被定义为

为信号有限区间内的傅里叶变换，为期望值。

对于有限能量的信号：功率集中在离散频率点上（如正弦波的频谱是若干尖锐谱线）。

对于随机噪声类信号：功率分布在整个频带，需用功率谱密度PSD描述。功率谱密度表示单位频率带宽内的平均功率。

举个例子：

单一正弦波信号：功率集中在它的频率点上→ 频谱上只有一根谱线，功率等于波形在时域中的功率。

白噪声信号：功率均匀分布在所有频率→ 频谱是平的，每个频率点功率一样。

纵坐标换为对数

正弦波在50 Hz 处的谱线变得更明

白噪声的谱线在对数坐标下表现为接近水平的直线，更容易看出功率分

2.3 区别总结

ESD：适用于能量有限的非周期信号。关注能量随频率分布，多用于有限时长的确定性信号。

PSD：适用于功率有限的随机过程（如噪声）。关注功率随频率分布，多用于随机信号和长期过程（如噪声分析）。

ESD：适合有限能量信号（如单次脉冲、有限长度信号）。

PSD：适合随机过程或无限长信号（如噪声、周期信号），描述的是功率随频率的分布。

ESD (上图，蓝色)：描述信号能量如何在不同频率上分布。因为这里的信号是有限时长的，所以ESD 在50 Hz 和120 Hz 处出现两个明显峰值，代表能量集中。

PSD (下图，红色)：描述单位带宽内的平均功率随频率分布情况。通过Welch 方法平滑估计，可以看到在50 Hz 和120 Hz 附近有两个清晰的尖峰，而且背景噪声部分也被展现出来。

2.5 相关概念

• 傅立叶分析的结果之一就是帕塞瓦尔定理，这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：

上面的定理在离散情况下也是成立的。另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自我相关函数。

• 谱密度是频率的函数，而不是时间的函数。但是，也可以计算一个较长信号上一小段「窗口」的谱密度，并且根据与事件相关的窗口进行绘图，这样的图形称为频谱图。这是短时傅立叶转换和小波等许多谱分析技术的基础。

3. 振幅谱密度和功率谱密度的关系

3.1 振幅谱密度（ASD, Amplitude Spectral Density）

​

​
PSD 告诉你每赫兹频率范围的功率有多少，ASD 则告诉你每赫兹频率范围对应的幅值大小。

4. 振幅谱密度与方差的关系

4.1 基本概念

1. 方差

对于离散信号𝑥(𝑡)（假设零均值），方差表示信号的能量大小：

如果是离散信号，方差就是

这就是信号在时域中的平均能量。

1. PSD

功率谱密度描述信号功率如何分布在频率上。

对于平稳随机信号，功率谱密度 定义为：

其中是对长度𝑇信号做傅里叶变换得到的频谱。

1. ASD

振幅谱密度是功率谱密度的平方根：

4.2 功率谱密度与方差的关系

，是采样率。

下面是推导过程：

Parseval 定理告诉我们，时域能量等于频域能量。对连续信号：

，其中𝑋(𝑓)是𝑥(𝑡)的傅里叶变换：

根据Parseval 定理：

所以方差就是PSD 对频率积分的结果：

结论：

• 方差= 信号总能量/ 平均时间

• PSD 是频域能量密度

• 对PSD 积分→ 得到方差

4.3 振幅谱密度与方差的关系

因为

代入

也就是说：

方差= ASD 的平方对频率积分

单位注意：如果ASD 单位是，那么方差的单位就是

ASD 在某个频率低→ 说明该频率成分的波动小→ 对整体方差贡献小；ASD 在某个频率高→ 对整体方差贡献大。因此，ASD 可以直观反映各频率分量对信号总能量（方差）的贡献。

总结：

或者离散形式

参考

维基百科-谱密度